Bài toán Napoléon

Bài toán Napoléon là một bài toán do Napoléon Bonaparte đưa ra. Ngoài những chiến công trên chiến trường, Napoléon cũng là một nhà nghiên cứu toán học khá xuất sắc. Trong đó ông có nghiên cứu cách "tìm tâm của một đường tròn bằng compa".


Bài toán
Chỉ dùng compa (không dùng thước kẻ), tìm tâm một đường tròn cho trước.


Phương pháp giải



Gọi đường tròn cho trước là (O).

Trên (O) lấy điểm A; vẽ đường tròn (A), với tâm A và bán kính tùy ý, cắt (O) tại hai điểm B và B'.

Qua B và B', vẽ lần lượt hai đường tròn (B) và (B'), với bán kính r = BA= B'A.

Gọi C là giao điểm của (B) và (B').

Vẽ đường tròn (C), với tâm C và bán kính CA, cắt (A) tại 2 điểm phân biệt D và D'.

Qua D và D', vẽ hai đường tròn (D) và (D'), với bán kính u = DA = D'A, cắt nhau tại điểm thứ hai (khác A) là E.

E là tâm của đường tròn (O), hay E trùng với điểm O cần tìm.



Chứng minh
Giả sử O là tâm đường tròn đã cho, ta sẽ CM: E trùng O.

Dễ thấy tam giác OAB và BCA đồng dạng ->CA.AO=AB.AB (1)

Dễ thấy C,E,A thẳng hàng nên tam giác CAD và DAE đồng dạng -> CA.EA=AD.AD (2)

Từ (1)(2) và AB= AD ->AO=AE mà A,O,E,C thẳng hàng nên E trùng O, vậy E là điểm cần dựng.